[q201110121000]  $R$ を環, $\mathfrak{m}$ を $R$ の Jacobson 根基, $I$ を $R$ の両側イデアルとする. 任意の $a\in I$ に対して, $1-a$ が $R$ の単元であるとする. このとき, $I\subseteq\mathfrak{m}$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110121100]  環 $R$ の Jacobson 根基 $\mathfrak{m}$ を, $R$ のすべての極大左イデアルの共通部分で定義したとき, $\mathfrak{m}$ は $R$ のすべての極大右イデアルの共通部分にも等しいことを証明せよ.

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[q201110121200]  $R$ を環とする. $M$ を有限生成 $R$ 加群とし, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とする. また, $\mathfrak{m}$ を $R$ の Jacobson 根基とする. このとき, $$ M=N+\mathfrak{m}M \Longrightarrow M=N $$ が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Krull-東屋の補題, 中山の補題

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[q201110121300]  $R$ を環, $\mathfrak{m}$ を $R$ の Jacobson 根基とする. $\mathfrak{m}$ は $R$ のすべての冪零な左イデアルを含むことを証明せよ.

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[q201107041430]  環 $R$ 上の左加群 $M$ が可除であることの定義を述べよ.

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