[q201110170600]  $p$ を素数, $a$, $b$, $r$ を整数とし, $\gcd(a, p)=\gcd(b, p)=1$ とする. このとき, 合同式 $$ ax^{2} + by^{2} \equiv r\pmod{p} $$ は $x$, $y$ について整数解をもつことを証明せよ.

---

[q201110270900]  $n$ を正の整数, $p$ を素数とするとき, $n$ の階乗 $n!$ の $p$ 指数は \begin{equation} \sum_{e=0}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^{e}}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^{2}}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^{3}}\right\rfloor + \cdots \tag{$*$} \end{equation} に等しいことを証明せよ.

---

[q201109040900]  $\sqrt{2}$ は無理数であることを証明せよ.

---

[q201107071700]  $x$, $y$ を実数とするとき, 不等式 \begin{equation} \lvert x+y\rvert\leq \lvert x\rvert+\lvert y\rvert \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: 三角不等式

---

[q201107071715]  $x$, $y$ を実数とするとき, 不等式 \begin{equation} \lvert x\rvert - \lvert y\rvert\leq \lvert x-y\rvert \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

---